Archives mensuelles : avril 2014

Quand la fatigue des matériaux faisait encore débat. Part 8. La théorie utilisée en France pour réfuter la fatigue des matériaux

Rappel des épisodes précédents

Dans les épisodes précédents je montrais que la fatigue des matériaux, pour des contraintes sous la limite d’élasticité, ne faisait pas l’unanimité plusieurs décennies après les premiers travaux publiés.

En effet August Wöhler publie, vers 1850-1860, des résultats d’essais de rupture sous chargement cyclique et conclut à une dégradation du métal pour des contraintes cycliques inférieures à la limite d’élasticité, ce qu’on appelle aujourd’hui la fatigue.

Wöhler avait raison mais des ingénieurs comme Jean Résal et Paul Planat avançaient une autre théorie pour expliquer ces résultats (voir partie 1, partie 2, partie 3).

D’où provient la théorie que Résal et Planat utilisent pour expliquer les résultats de Wöhler ?

Je propose de remonter de proche en proche dans les références bibliographiques pour détecter l’origine de la théorie exposée par M. Résal et Planat.

Jean Résal, dans ses ouvrages, ne mentionne malheureusement pas ses références.

La théorie utilisée exploite les notions de « force vive » et de « pièces en état de vibration » (Résal. Résistance des matériaux. 1898. p452). On retrouve la « résistance aux vibrations » et la « force vive » dans l’ouvrage de Jacques Buchetti, Manuel des constructions métalliques et mécaniques, 1888. Cet ouvrage servira de point de départ.

Dans le chapitre 1 « formules générales de la résistance », M. Buchetti considère « la résistance : 1° aux efforts ou charges statiques appliqués doucement (résistance statique). 2° aux efforts ou charges dynamiques (résistance vive) ».

Buchetti-1888-manuel_des_constructions

Dans le paragraphe 18, Buchetti aborde la « résistance aux vibrations » :

« Si la charge, au lieu d’agir doucement, agit instantanément mais sans vitesse acquise, la théorie indique que, pour un même effort, la déformation initiale totale […] sera double de ce qu’elle serait pour une charge statique. Il se produira une série d’oscillations décroissantes, puis au repos on aura la même déformation que pour une charge statique. Les expériences, déjà anciennes, de M. Henry James, dont parle M. Love (1), ont pleinement confirmé la théorie sur ce point. »

Buchetti-1888-manuel_des_constructions_2

On retrouve la théorie utilisée par Jean Résal.

Pour cette théorie, Buchetti cite les essais de Henry James dans un article de Love, « Mémoire sur la résistance des matériaux, résistance du fer et de la fonte, basée principalement sur les recherches expérimentales les plus récentes faites en Angleterre, Société des Ingénieurs civils, 1851 ».

Love y résume les travaux de la commission anglaise royale créée en 1847 à la suite de la rupture d’une poutre en fonte d’un pont de chemin de fer.

Pour les essais de James sur l’application instantanée d’une charge sans choc, Love mentionne qu’ils confirment les résultats théoriques de Cox. Selon la théorie de Cox, « la flexion et la pression statique sont doublées par l’apparition instantanée de la charge ».

Nous retrouvons là la théorie utilisée par Jean Résal et Paul Planat !

La référence pour les résultats de Cox est un article de M. Callon paru dans les Mémoires de la Société des ingénieurs civils en 1848, Vol. 1, mémoire n°VII. Cet article est la traduction de l’article Notes on Engineering de Homersham Cox, inséré dans le n° de septembre 1848 du Civil Engineer and Architect’s Journal.

Il s’agit probablement des travaux à l’origine de la théorie utilisée par Résal et Planat !

Dans cet article, Cox s’intéresse à la flexion et la déformation dynamiques de poutres de chemin de fer.

cox work 0

Cox utilise le travail mécanique pour calculer la flèche d’une poutre lors d’un chargement dynamique.

cox work 1

Tout d’abord, il suppose que l’élasticité est respectée (les forces restent proportionnelles aux allongements), et calcule le travail mécanique produit par une flexion F produisant la flèche x. Selon moi cette intégrale n’est pas exacte, la force doit être considérée constante sur l’intervalle de flèche dx. On doit sortir la force de l’intégrale pour au final obtenir W=F.x.

cox work 2

L’auteur distingue ensuite un effort appliqué lentement ou instantanément.

Il observe que la flèche maximale induite par un effort appliqué rapidement est supérieure à la flèche induite par un effort appliqué lentement. Juste après l’application rapide d’un effort, des oscillations autour d’un point d’équilibre se produisent le temps que la structure parvienne à son état d’équilibre.

Cox prend alors les exemples d’une balance, d’un ressort chargé instantanément et d’un morceau de bois placé dans l’eau avec une vitesse initiale non nulle.

cox work 3

Cox pense qu’il se passe la même chose pour une poutre de chemin de fer en flexion et calcule cette flèche maximale.

cox work 4

Cox arrive alors au résultat suivant : pour un poids appliqué rapidement, la flèche maximale obtenue, avant retour à l’équilibre, est le double de la flèche statique. Il est vrai que pour une force appliquée très rapidement sur une structure souple, des effets d’oscillation peuvent apparaître. Mais ils dépendent de la valeur de la force, de la vitesse de chargement, de la raideur de la poutre, de la température…etc. Le résultat de Cox n’est pas juste.

Conclusion

La théorie des efforts dynamiques utilisée par Jean Résal et Paul Planat pour expliquer les essais de fatigue de Wöhler venait peut-être de l’anglais Homersham Cox. Les efforts mécaniques dans le ferroviaire étant dus au déplacement des trains ou à la rotation des essieux, on expliquait les ruptures par le caractère dynamique de ces efforts en utilisant la théorie de Cox.

La question de la commission royale anglaise de 1847 est d’ailleurs l’influence des chocs et vibrations sur la résistance du métal.

La théorie de Cox, bien que fausse, donnait des résultats convaincants car elle permettait d’éviter les ruptures en imposant d’augmenter la résistance des pièces, et avait un fond physique cohérent. Cette théorie étant compatible avec la notion de limite d’élasticité très populaire en France (voir partie 3 de l’article), on comprend pourquoi l’effet néfaste du caractère cyclique des efforts mis en évidence par Wöhler, autrement dit la fatigue des matériaux, a eu du mal à s’imposer en France.

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Durabilite-infos_Lois-de-Wohler-full-article-1-8

La vidéo du mois d’avril 2014

La vidéo du mois d’avril 2014 nous vient du projet appelé l’Université de tous les savoirs.

C’est une conférence d’André Pineau datant de 2000 intitulée « Les alliages métalliques pour conditions extrêmes ».

Lien vers la vidéo

Je copie ici le résumé de la conférence :

Les métaux et leurs alliages ont toujours joué un rôle primordial dans le développement de nos sociétés. Ils ont toujours contribué à la résolution de bon nombre de problèmes de société incontournables. Plutôt que de faire un inventaire, on s’efforcera de montrer les diverses étapes à franchir dans le développement d’un alliage métallique destiné à remplir une fonction donnée. On illustrera également les développements des grandes disciplines (Chimie, Physique, Mécanique, Simulation Numérique) qui ont largement contribué à la métallurgie. A cet effet, on rappellera tout d’abord les spécificités physiques des métaux et alliages métalliques. On montrera à ce propos comment il a été possible de profiter de certains traits spécifiques favorables et de surmonter quelques handicaps, comme la densité. Parmi les situations extrêmes envisagées, on se restreindra à celles qui font appel à la résistance mécanique des métaux et des alliages métalliques en traitant successivement le cas des très basses températures (transport de gaz liquéfiés), des très grandes vitesses de déformation ( » crash  » automobile), des températures élevées (turbines aéronautiques) et celui de l’irradiation aux neutrons (réacteurs électronucléaires). On conclura en envisageant un certain nombre d’applications pour lesquelles le développement de nouveaux alliages métalliques reste un verrou technologique et pose de réels défis scientifiques et techniques.

Enjoy !!

Quand la fatigue des matériaux faisait encore débat. Part 7. Influence des vibrations sur le métal : deux effets supposés

Rappel des épisodes précédents

En partie 1, partie 2 et partie 3 de cet article, je montrais qu’au XIXe siècle, la fatigue des matériaux ne faisait pas l’unanimité plusieurs décennies après les premiers travaux publiés.

En partie 4, on voyait que dès 1862 des ruptures en service étaient pourtant observées et attribuées à une « altération » des matériaux, et que des opérations de maintenance étaient mises en place pour changer les pièces avant rupture.

Dans la partie 5, je résumais les essais de fatigue réalisés par Wöhler et Spangenberg dans les années 1850-1860.

Dans la partie 6, on voyait qu’en 1885, Armand Considère, ingénieur des Ponts et Chaussées, adhérait à l’idée de fatigue du métal.

Effet des vibrations sur le métal : deux suppositions

Dans cette partie 7 je traiterai l’ouvrage de Navier avec notes et appendices de Mr Barré De St Venant, De la résistance des corps solides, 3e édition, 1864.

Claude Louis Marie Henri Navier a disparu en 1836. Mr Barré de St Venant reprend donc un ouvrage de Navier édité en 1826 puis en 1833. Cette remarque est importante car l’ouvrage s’en trouve compliqué à lire : on ne sait pas vraiment qui écrit quoi. On saura assurément que si des ouvrages postérieurs à 1836 sont cités, ce ne sera pas les écrits de Navier. A priori, toutes les notes sont de Mr Barré de St Venant. Je parlerai donc de l’auteur en supposant qu’il s’agit de Mr Barré de St Venant.

Navier-1864-1

On trouve, p337, un chapitre appelé « Condition de la résistance à la rupture par extension, immédiate ou éloignée. Double effet des vibrations ou des intermittences d’action ».

Dans ce chapitre, l’auteur liste deux hypothèses pour les effets des vibrations sur la résistance des matériaux :

« A cet égard, il est bon d’observer que les vibrations, qui sont inévitables, ont deux effets bien distincts;

l’un, pouvant jusqu’à un certain point être calculé, et susceptible d’être assimilé aux effets statiques, consiste à accroître périodiquement le degré des dilatations et compressions des solides à la fois chargés et ébranlés.

L’autre effet […] serait de changer peu à peu l’état d’agrégation et de groupement des molécules en les présentant l’une à l’autre dans des situations diverses comme ferait une fusion ou plutôt un recuit. C’est ainsi que des ébranlements longtemps répétés font perdre aux barres de fer, suivant la plupart des ingénieurs, leur nerf ou l’état d’enchevêtrement fibreux du au laminage, et leur font reprendre, d’après eux, l’état cristallin où chaque petit groupe peut être plus stable, mais où l’ensemble l’est beaucoup moins. »

Navier-1864-2

Première hypothèse

Pour la première hypothèse, on retrouve l’accumulation du travail élastique décrite par Jean Résal et Paul Planat. L’auteur adhère, mais on a vu que cette théorie n’était pas juste.

Je reviendrai sur ce point dans un prochain article.

Seconde hypothèse

La seconde hypothèse suppose une production « d’arrangements moléculaires un peu différents […] à chaque extension ». L’idée est floue mais le principe est exact ; la fatigue des matériaux prend racine au niveau des arrangements des atomes (voir par exemple ici, ici et ici). Pour faire simple, les atomes ne reviennent pas exactement à leur place à chaque application de l’effort, ce qui mène à l’apparition de petites fissures au sein du métal.

Le changement complet de microstructure supposé («  des ébranlements longtemps répétés […] font reprendre […] l’état cristallin ») n’est par contre pas exact, même si l’on peut citer le cas particulier de certains aciers inox austénitiques (voir thèse Yoann LEHERICY-2007).

Navier-1864-3

L’auteur, sur cette seconde hypothèse, mentionne que « tous les praticiens ne sont pas d’accord ».

Difficile de connaître l’opinion de l’auteur sur cette seconde hypothèse car il parle tantôt au conditionnel (« serait de changer »), tantôt à l’indicatif (« des ébranlements longtemps répétés font perdre »). De plus il parle en son nom ou cite d’autres ingénieurs (« suivant la plupart des ingénieurs »).

L’auteur semble tout de même adhérer à cette hypothèse car il ajoute ensuite : « il suffit même de simples intermittences ou alternatives d’action pour amener des désagrégations, en produisant, sans doute, à chaque extension, des arrangements moléculaires un peu différents. Tout le monde sait que l’on rompt facilement un fil de fer en le ployant successivement plusieurs fois en des sens opposés, et, comme disent quelquefois les ouvriers, « les ressorts les plus parfaits sont susceptibles de se fatiguer à la longue. On a vu des poutres en fonte rompre par cela seul qu’un réservoir d’eau qu’elles supportaient était alternativement plein et vide (Note de M. Braitwaite au Journal of Arts, London, 1854). »

L’auteur propose même de réaliser des essais de fatigue pour établir des données de dimensionnement : « Il en résulte que pour déterminer la valeur de R, relative à une matière, il faut, ou soumettre les pièces à de longues épreuves statiques et dynamiques, ou bien (§9 de la note du n° 3) se servir de l’examen des constructions, anciennes et hardies soumises aux mêmes ébranlements et aux mêmes autres circonstances que les édifices qu’on veut ériger. », et propose de ne réaliser des « expériences de rupture immédiate que pour établir approximativement des rapports entre les diverses variétés d’une même espèce de matière ».

Conclusion

Dans cette partie nous avons analysé un ouvrage de 1864 exposant deux effets supposés des vibrations : la théorie utilisée par Résal et Planat et une théorie basée sur des modifications microstructurales dues aux vibrations répétées.

Le résultat principal est que, dès 1864, un lien entre « l’état d’agrégation et de groupement des molécules » et l’exposition aux sollicitations mécaniques était suspecté. On parle de vibrations, d’ébranlements, et pas d’efforts répétés, mais l’idée est là car l’origine de la fatigue des matériaux se situe en effet à l’échelle des plans d’atomes du réseau cristallin (voir ce cours très bien fait).

Dans la prochaine partie je parlerai de la théorie utilisée par Résal et Planat pour expliquer les essais de Wöhler (voir parties 1 et 2). On verra qu’un mauvais calcul de travail mécanique repris ensuite par tout le monde peut coûter très cher, et ce pendant des décennies !

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Durabilite-infos_Lois-de-Wohler-full-article-1-7

Quand la fatigue des matériaux faisait encore débat. Part 6 : une des premières approches françaises de dimensionnement en fatigue

Rappel des épisodes précédents

En partie 1, partie 2 et partie 3 de cet article, je montrais qu’au XIXe siècle, la fatigue des matériaux, aujourd’hui largement acceptée, ne faisait pas l’unanimité plusieurs décennies après les premiers travaux publiés.

En partie 4, je montrais que, malgré des idées floues sur l’influence des efforts répétés, des ruptures en service étaient observées et attribuées à une altération des matériaux, et que des opérations de maintenance étaient mises en place pour changer les pièces avant rupture.

En partie 5, je résumais les essais de fatigue réalisés par Wöhler et Spangenberg, reportés par Armand Considère dans les Annales des Ponts et Chaussées 1885 Semestre 1.

Dans cette partie 6 je propose d’analyser l’avis de Mr Considère sur ces essais.

Armand Considère. 1841-1914. Source : planete-tp.com

Armand Considère. 1841-1914. Source : planete-tp.com

Quel est l’avis de Mr Considère sur les essais de fatigue de Mr Wöhler ?

La gestion des essais est critiquée

Après la description des essais et résultats de Mr Wöhler (voir partie 5), Mr Considère émet des critiques sur le protocole expérimental.

Tout d’abord, il déplore « l’irrégularité des métaux essayés ». Mr Wöhler a prélevé ces éprouvettes dans des essieux. Or selon Mr Considère, « les essieux sont mal choisis pour des essais comparatifs » car « il n’y pas d’homogénéité dans une pièce forgée telle qu’un essieu » et donc « on obtiendra des résistances et des allongements fort différents sur des barreaux pris dans le même essieu à la fusée, à la portée ou au corps, ou même en des points différents d’une même partie ». Par conséquent, « les essais d’une même série des expériences de M. Woehler ne sont pas rigoureusement comparables ».

Une pièce forgée montre il est vrai une hétérogénéité de microstructure importante, en particulier une anisotropie très marquée : les grains du métal sont étirés et orientés suivant une direction bien marquée (voir thèse Milesi 2009 et un exemple ici).

Mr Considère conclut alors « qu’il aurait été […] indispensable d’indiquer pour chaque essai de répétition les caractéristiques du métal essayé ».

Ensuite, la question de la validité des résultats pour des vitesses de chargement plus faibles est posée. En effet, « la durée de l’action des efforts maxima était voisine de 1/12 seconde ». Or selon Mr Considère, « cette durée est insuffisante pour que l’effort produise son plein effet au point de vue de la déformation et par suite de l’altération du métal ». Toujours selon Mr Considère, « pour les pièces soumises à des variations moins rapides […] l’altération commencerait vraisemblablement pour des efforts moins élevés ».

Il est vrai que sous milieu corrosif ou sous haute température, des phénomènes comme la corrosion sous contrainte et le fluage peuvent apparaître et abaisser la résistance du métal. Mais le fluage ne semble pas connu à cette époque là. Pour la corrosion sous contrainte, je pense qu’elle n’était pas connue non plus. On parle seulement de réduction de section due à la rouille.

Mais dans les chapitres 57 à 60, donc juste avant de traiter les essais de Wöhler, Mr Considère résume et discute les expériences de Vicat et Thurston sur « l’effet des efforts prolongés ». Il reste assez perplexe : « Si le fer et l’acier subissent des allongements continus sous l’action d’efforts inférieurs à la limite d’élasticité, ce qui ne nous paraît pas encore prouvé, il est en tous cas certain que ces allongements sont très inférieurs aux chiffres que Vicat a indiqués ». Mr Considère a lancé ses propres essais mais ils « n’ont pas eu jusqu’ici une durée suffisante pour nous permettre de conclure avec certitude ». Mr Considère garde donc son mystère avec lui.

Enfin, la dernière critique de Mr Considère porte sur « l’emploi erroné de la formule de flexion ». La formule donnant la contrainte en fonction du moment du flexion utilisée par Wöhler n’est plus valable dès que l’on dépasse la limite d’élasticité.

Mr Considère pointe donc une incohérence : « un fer, dont la résistance normale à la rupture était égale à 32,70k a supporté 169 750 répétitions d’une flexion produisant une tension calculée de 40,42k. Or il est évidemment inadmissible qu’un métal ait supporté un si grand nombre de fois la répétition d’un effort qui dépasse de près de 8 kilogrammes celui dont une seule application suffit pour amener la rupture ». Il semble étrange que Mr Wöhler ait présenté un résultat de ce type.

Quoi qu’il en soit, le fond des conclusions de Wöhler n’est pas remis en cause, car même si « la différence vaut la peine qu’on s’y arrête », l’erreur induite « laisse debout le sens général des résultats obtenus par M. Woehler ». De plus, « cette critique n’atteint pas les valeurs déterminées pour les limites dangereuses des efforts de sens contraire, qui, étant très inférieures à la limite d’élasticité, ont pu être calculées avec une exactitude presque parfaite ».

Mr Considère adhère à la notion de fatigue

Après des critiques marquées sur les essais, Mr Considère discute la « valeur des lois de M. Woehler » (chapitre 73 p709).

Sans attendre, l’auteur annonce son opinion « Bien que nous ayons fait plusieurs réserves importants au sujet des expériences de M. Woehler, nous pensons qu’elles ont néanmoins une grande valeur ».

Mr Considère croit-il à la fatigue des matériaux, soit la rupture du métal sous l’action d’efforts répétés ?

La réponse est oui car il parle alors du « danger spécial résultant de la répétition des efforts, que M. Woehler a découvert et mis hors de doute ».

De plus, en raison de l’erreur sur la formule de flexion et de la brièveté de l’action des efforts, Mr Wöhler aurait sur-estimé la résistance en fatigue du fer et de l’acier, et l’auteur ajoute que « des expériences comparatives, plus précises, ne pourront que faire apparaître plus étroites encore les limites dans lesquelles doivent être renfermés les efforts répétés, pour ne pas altérer le fer et l’acier ».

Mr Considère semble tellement adhérer à cette théorie qu’il ajoute « Si donc, il est fort désirable que des expériences nouvelles soient faites, il serait illogique d’en attendre le résultat pour tenir compte du danger désormais indiscutable qui résulte des efforts répétés ».

Considere 1885 6

Considere 1885 7

Une des premières démarches françaises de dimensionnement en fatigue est alors proposée !

Mr Considère propose ensuite une méthode de dimensionnement de pièces mécaniques basée sur ces lois.

Ce n’est pas vraiment une méthode de dimensionnement a priori, mais une méthode visant à dimensionner une pièce remplaçant une pièce rompue en service. Ainsi, si une pièce s’est « brisée après n tours ou répétitions de l’effort […] on cherchera dans les tableaux de M. Woehler un barreau de même métal, qui ait résisté à n répétitions d’un effort de même nature, et on notera la charge P qui a amené sa rupture. On trouvera dans la même série d’essais la charge p qu’un barreau identique a pu supporter indéfiniment sans se briser, et le rapport p/P indiquera évidemment la proportion dans laquelle on doit diminuer la fatigue de la pièce remplacée pour lui assurer une durée indéfinie. […] Le tableau ci-après donne pour les axes, en regard du nombre de tours qui a amené la rupture, le rapport P/p, c’est-à-dire l’augmentation de force qu’il faut donner à la pièce en remplacement pour qu’elle dure indéfiniment ».

Même si c’est une méthode de dimensionnement de pièces de réparation, il s’agit peut-être de la première approche de dimensionnement en fatigue développée en France !

Considere 1885 8

Conclusion

On a vu dans cette partie qu’Armand Considère, ingénieur des Ponts et Chaussées, acceptait en 1885 les conclusions de Mr. Wöhler et adhérait à l’idée de fatigue des matériaux. On a aussi vu une des premières approches de dimensionnement en fatigue développée en France !

Deux théories se sont donc confrontées en France vers 1880 concernant les lois de Wöhler : la fatigue du métal et la théorie exposée par Jean Résal.

Quand exactement le consensus a-t-il été total sur la fatigue des matériaux ? La théorie exposée par Jean Résal a-t-elle été invalidée par un résultat, un calcul ? D’où provient la théorie exposée par Résal et Planat ? Ce sera l’objet de mes prochains articles !

L’article en version PDF
Durabilite-infos_Lois-de-Wohler-1-6